数学Ⅱの重要公式「点と直線の距離」。
なぜこれを学ぶ必要があるのでしょうか？
それは、この公式が「図形と方程式」の枠を超え、円の接線、領域における最大・最小、
さらにはベクトルや微積分まで、あらゆる難問を解くための最強のショートカットになるからです。
本記事では、丸暗記に頼らず図解と導出で、直感的に理解を深めます。
標準的な使い方から、東京一工レベルの入試で差がつく「絶対値の外し方」まで、本質を徹底解説します。
公式
座標平面における点と直線の距離の公式を導いてみましょう。
公式
点 \(P(x_{0},y_{0})\) から直線 \( l: ax+by+c=0 \) までの距離 \(d\) は
\[ d = \frac{\left|ax_{0}+by_{0}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \]
である。
それではこの公式を証明してみましょう。
証明
PH は直線 \(l\) と垂直なので、
\begin{align} \mathrm{PH}: b(x-x_{0}) - a(y-y_{0}) = 0 \tag{1} \end{align}
と書けます（実際、上の式の左辺に \(x=x_{0}, y=y_{0}\) を代入すると \(0\) になるので、点 \(P(x_{0}, y_{0})\) が PH を通ることが確かめられます）。
点 H の座標を求めるには、PH の式と \(l\) の式を連立すれば良いわけですが、見通しを良くするために
\[ l: a(x-x_{0})+b(y-y_{0}) = -(ax_{0}+by_{0}+c) \tag{2} \]
と変形しておきます。(1) の二乗と (2) の二乗を足すと
\[ (a^{2}+b^{2}) \left\{ (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2} \right\} = (ax_{0}+by_{0}+c)^{2} \tag{3} \]
となります。(3) は (1) と (2) を連立したものだったので、H \((x,y)\) は (3) を満たす。ここで、
\[ d^{2} = \mathrm{PH}^{2} = (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2} \tag{4} \]
であるから、(3), (4) より
\[ (a^{2}+b^{2}) d^{2} = (ax_{0}+by_{0}+c)^{2} \]
となる。よって、
\[ d= \frac{\left|ax_{0}+by_{0}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \]
となる。
分子に絶対値をつけるのを忘れないようにしましょう！
この公式を適用するときは、
直線 \( l \) を \( ax + by + c = 0 \) の形に直す！！
公式の覚え方
数学の公式というのは、かならず「なぜ成り立つのか？」という理解とセットでなければ本来使ってはなりません。
特に、東大レベルになると、「加法定理を証明せよ。(1999年・東大)」という問題も出たりするくらいですからね。
まずは、上記の導き方をしっかりとおさえた上で、公式を適用できるようになるのが本質的な学習法というものです。
ですが、実際は公式を瞬時に適用しなければ時間内に解けない問題も出てきます。
そこでこのセクションでは、「どういうふうにこの公式を覚えたらいいか？」という点を説明します。
もう一度、点と直線の距離の公式を再掲します。
\[ d = \frac{\left|ax_{0}+by_{0}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \]
これですが、オススメの覚え方は、
\[ d = \frac{代入}{三平方} \]
と覚えると良いです。
代入はその名の通り、点 \(P(x_{0},y_{0})\) の座標を \( l: ax+by+c=0 \) に代入したもの、という意味です。ただし、絶対値を忘れないでください！
三平方は \( \sqrt{a^{2}+b^{2}} \) の部分が、三平方の定理を適用したときの形に似ているから、ですね。
この覚え方をお伝えすると、
分母を \( \sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}} \) としてしまう人が出てくる！！
という問題が発生します。
導き方がわかっていれば、このような間違いは避けられるのですが、それでも毎回公式を導くわけにもいきません。
この間違いを避けるためには、
座標が分母だと、原点 O からの距離の、分母が 0 になってしまう！
と理解すれば、間違えずに済みます。
もし座標が分母で、原点からの距離を求めたい場合、\( \sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}} = \sqrt{0^{2}+0^{2}} = 0 \) が分母になってしまいますからね。
もう一度公式の覚え方を整理すると、
公式の覚え方
\[ d = \frac{代入}{三平方} \]
と覚える！
分母に入れるのは直線の \(a,b\) の三平方！座標ではない！
上級：どういうときに、分子の絶対値を外せるか？
実は、点と直線の距離の公式
\[ d = \frac{\left|ax_{0}+by_{0}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \]
において、分子の
\[ \left|ax_{0}+by_{0}+c\right| \]
の絶対値を外せるときがあります。それは
座標がわかっている点と、点 P が
直線 \(l\) に関して同じ側にある
とわかっているとき
です。
ハア？
という感じだと思うので、具体例で見ていきましょう。
まず、点と直線の距離を使い、\( d\) を求めてみましょう。
ここでは、\(l\) の式より \(a=1, b=2, c=-7\) であることがわかります。これを点と直線の距離の公式に代入すると
\[ d = \frac{\left| x_{0} + 2y_{0} - 7 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} \tag{5} \]
となります。
しかし、点 P は原点 O と直線 \(l\) に関して同じ側にあるのでした。\( l\) の式
\[ l: x+2y-7=0 \]
の左辺に、O(0,0) を代入してみると
\[ 0+0-7 = -7 < 0 \]
となります。
ということは、点 P は原点 O と直線 \(l\) に関して同じ側にあるのですから、P \((x_{0},y_{0})\) を \(l\) の式の左辺に代入した、
\[ x_{0} + 2y_{0} - 7 \]
は当然
\[ x_{0} + 2y_{0} - 7 < 0 \]
になります。
ということで、上の式 (5)
\[ d = \frac{\left| x_{0} + 2y_{0} - 7 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} \]
に戻ると、分子の絶対値は
\[ d = \frac{-\left( x_{0} + 2y_{0} - 7 \right)}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} \]
と絶対値が外れるのです。
まとめ
点と直線の距離の公式
\[ d = \frac{\left|ax_{0}+by_{0}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \]
において、
直線 \(l\) に関して２点が同じ側にあるとき、
代入して符号を確かめることによって、絶対値を外して計算をラクにすることができる！